Alexander Klessinger studierte Regie an der Theaterakademie Hamburg. Währenddessen wurde seine Studienarbeit „Aufklärungsmaschine” zu den Lessingtagen 2023 eingeladen. Am Thalia Theater folgte 2023 seine Abschlussinszenierung „Das große Heft”. Anschließend inszenierte er 2024 am Jungen Schauspielhaus Hamburg „Ferdinand, der Stier“ und im gleichen Jahr „Ödipus“ von Sophokles am Theater an der Ruhr. Am Thalia Theater führte er Regie bei „Palindrom“ (2024), das beim Theaterfestival der Kulturhauptstadt Europa 2024 gezeigt wurde und „Das Handtuchwerfen – Ein Saunaabend“ (2025). In der Zeitschrift Theater Heute wurde er in der Kategorie „Beste Nachwuchsregie 2024/25“ nominiert.